Которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля). Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах , и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность , эффект Холла , вязкость и теплопроводность . Уравнение применимо для разреженных систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).
Формулировка
Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени (t ) функции распределения плотности f (x , p , t ) в одночастичном фазовом пространстве , где x и p - координата и импульс соответственно. Распределение определяется так, что
пропорционально числу частиц в фазовом объёме d³x d³p в момент времени t . Уравнение Больцмана
Здесь F (x , t ) - поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m - масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют уравнением Лиувилля . Если поле сил F (x , t ) заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения f , то получим уравнение Власова , описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы , а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, т.е. переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).
Вывод уравнения Больцмана
Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических и квантовых систем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана .
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Уравнение Больцмана" в других словарях:
уравнение Больцмана - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN Boltzmann equation … Справочник технического переводчика
Уравнение Больцмана (кинетическое уравнение Больцмана) уравнение, названное по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости. Является одним из самых важных… … Википедия
Интегродифференциальное уравнение, к рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения систем из большого числа ч ц, напр. ф ция распределения f(v, r, t) молекул газа по скоростям v и координатам r, ф ции распределения эл нов в … Физическая энциклопедия
Интегродифференц. ур ние, к рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц, напр, ф ция распределения молекул газа по скоростям и координатам r, ф ции распределения электронов в металле,… … Физическая энциклопедия
Уравнение для функции распределения f (ν, r, t) молекул газа по скоростям ν и координатам r (в зависимости от времени t), описывающее неравновесные процессы в газах малой плотности. Функция f определяет среднее число частиц со скоростями… … Большая советская энциклопедия
Уравнение Власова система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учётом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Впервые предложена А. А. Власовым в статье и позднее излагается… … Википедия
Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера Планка. Уравнение Фоккера Планка одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и… … Википедия
Уравнение Больцмана, известное также как кинетическое уравнение Больцмана, названо по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел. Оно описывает статистическое распределение частиц в газе или жидкости и является одним из самых важных… … Википедия
В математической физике, теорема Лиувилля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в статистической и гамильтоновой механике. Она гласит, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна… … Википедия
Уравне́ние Бо́льцмана (кинети́ческое уравнение Больцмана ) - уравнение, названное по имени Людвига Больцмана , который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости. Является одним из самых важных уравнений физической кинетики (области статистической физики , которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля). Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах , и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность , эффект Холла , вязкость и теплопроводность . Уравнение применимо для разреженных систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).
Формулировка
Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени (t ) функции распределения плотности f (x , p , t ) в одночастичном фазовом пространстве , где x и p - координата и импульс соответственно. Распределение определяется так, что
f (x , p , t) d 3 x d 3 p {\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}x\,d^{3}p}пропорционально числу частиц в фазовом объёме d³x d³p в момент времени t . Уравнение Больцмана
∂ f ∂ t + ∂ f ∂ x ⋅ p m + ∂ f ∂ p ⋅ F = d f d t | c o l l . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {df}{dt}}\right|_{\mathrm {coll} }.}Здесь F (x , t ) - поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m - масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интегралом столкновений . Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют одночастичным уравнением Лиувилля . Если поле сил F (x , t ) заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения f {\displaystyle f} , то получим уравнение Власова , описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы , а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, то есть переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).
L ^ G R = ∑ α p α ∂ ∂ x α − ∑ α β γ Γ β γ α p β p γ ∂ ∂ p α , {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=\sum _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}-\sum _{\alpha \beta \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{\partial p^{\alpha }}},}Интеграл столкновений
Столкновения между частицами приводит к изменению их скоростей. Если W (v , v ′) d 3 v ′ d t {\displaystyle W(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt} задает вероятность рассеяния частицы из состояния со скоростью v {\displaystyle \mathbf {v} } в состояние со скоростью v ′ {\displaystyle \mathbf {v} ^{\prime }} , то интеграл столкновений для классических частиц записывается в виде
∂ f ∂ t | c o l l = ∫ v ′ [ f (t , r , v ′) W (v ′ , v) − f (t , r , v) W (v , v ′) ] d 3 v ′ {\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{coll}=\int _{\mathbf {v} ^{\prime }}d^{3}v^{\prime }} .В случае квантового характера статистики частиц это выражение осложняется невозможностью двух частиц находиться в состоянии с одинаковыми квантовыми числами, а поэтому нужно учитывать невозможность рассеяния в занятые состояния.
Приближение времени релаксации
Уравнения Больцмана - сложное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. Кроме того, интеграл столкновений зависит от конкретной системы, от типа взаимодействия между частицами и других факторов. Нахождение общих характеристик неравновесных процессов - непростое дело. Однако известно, что в состоянии термодинамического равновесия интеграл столкновений равен нулю. Действительно, в состоянии равновесия в однородной системе при отсутствии внешних полей все производные в левой части уравнения Больцмана равны нулю, поэтому интеграл столкновений тоже должен равняться нулю. При малых отклонениях от равновесия функцию распределения можно представить в виде
f = f 0 + f 1 {\displaystyle f=f_{0}+f_{1}} ,где f 0 (v) {\displaystyle f_{0}(\mathbf {v})} - равновесная функция распределения, зависит только от скоростей частиц и известная из термодинамики, а f 1 {\displaystyle f_{1}} - небольшое отклонение.
Перейдем теперь к выводу основного уравнения кинетической теории газов - уравнения, определяющего функцию распределения .
Если столкновениями молекул можно было бы пренебречь вовсе, то каждая молекула газа представляла бы собой замкнутую подсистему и для функции распределения молекул была бы справедлива теорема Лиувилля, в силу которой
(см. V, § 3). Полная производная означает здесь дифференцирование вдоль фазовой траектории молекулы, определяемой ее уравнениями движения. Напомним, что теорема Лиувилля имеет место для функции распределения, определенной именно как плотность в фазовом пространстве (т. е. в пространстве переменных, являющихся канонически сопряженными обобщенными координатами и импульсами).
Это обстоятельство не мешает. Конечно, тому, что сама функция f может быть затем выражена и через любые другие переменные.
В отсутствие внешнего поля величины Г свободно движущейся молекулы остаются постоянными и меняются только ее координаты ; при этом
Если же газ находится, например, во внешнем поле , действующем на координаты центра инерции молекулы (скажем, в поле тяжести), то
где - сила, действующая на молекулу со стороны поля.
Учет столкновений нарушает равенство (3,1); функция распределения перестает быть постоянной вдоль фазовых траекторий. Вместо (3,1) надо писать
где символ означает скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям: есть отнесенное к единице времени изменение за счет столкновений числа молекул в фазовом объеме Написанное в виде
уравнение (3,4) (с из (3,2)) определяет полное изменение функции распределения в заданной точке фазового пространства; член есть убыль (в 1 с) числа молекул в заданном элементе фазового пространства, связанная с их свободным движением.
Величину называют интегралом столкновений, а уравнения вида (3,4) называют вообще кинетическими уравнениями. Разумеется, кинетическое уравнение приобретает реальный смысл лишь после установления вида интеграла столкновений. К этому вопросу мы сейчас и перейдем.
При столкновении двух молекул значения их величин Г меняются. Поэтому всякое столкновение, испытанное молекулой, выводит ее из заданного интервала о таких столкновениях говорят как об актах ухода.
Полное число столкновений с переходами со всеми возможными значениями ; при заданном Г, происходящих в единицу времени в объеме dV, равно интегралу
Происходят, однако, и такие столкновения («приход»), в результате которых молекулы, обладавшие первоначально значениями величин Г, лежащими вне заданного интервала попадают в этот интервал. Это столкновения с переходами снова со всеми возможными при заданном Г. Полное число таких столкновений (в единицу времени в объеме dV) равно
Вычтя число актов ухода из числа актов прихода, найдем таким образом, что в результате всех столкновений рассматриваемое число молекул увеличивается в 1 с на
где для краткости обозначено
Таким образом, находим следующее выражение для интеграла столкновений:
Во втором члене в подынтегральном выражении интегрирование по относится только к функции w, множители от этих переменных не зависят. Поэтому эту часть интеграла можно преобразовать с помощью соотношения унитарности (2,9). В результате интеграл столкновений примет вид
в котором оба члена входят с одинаковым коэффициентом .
Установив вид интеграла столкновений, мы тем самым получили возможность написать кинетическое уравнение
Это интегро-дифференциальное уравнение называют также уравнением Больцмана. Оно было впервые установлено основателем кинетической теории Людвигом Больцманом в 1872 г.
Равновесное статистическое распределение должно удовлетворять кинетическому уравнению тождественным образом. Это условие действительно выполняется. Равновесное распределение стационарно и (в отсутствие внешнего поля) однородно; поэтому левая сторона уравнения (3,8) тождественно обращается в нуль. Равен нулю также и интеграл столкновений: в силу равенства (2,5) обращается в нуль подынтегральное выражение. Удовлетворяет кинетическому уравнению, конечно, и равновесное распределение для газа во внешнем поле. Достаточно вспомнить, что левая сторона кинетического уравнения есть полная производная df/dt, тождественно обращающаяся в нуль для всякой функции зависящей только от интегралов движения; равновесное же распределение выражается только через интеграл движения - полную энергию молекулы .
В изложенном выводе кинетического уравнения столкновения молекул рассматривались по существу как мгновенные акты, происходящие в одной точке пространства. Ясно поэтому, что кинетическое уравнение позволяет в принципе следить за изменением функции распределения лишь за промежутки времени, большие по сравнению с длительностью столкновений, и на расстояниях, больших по сравнению с размерами области столкновения. Последние порядка величины радиуса действия молекулярных сил d (для нейтральных молекул совпадающего с их размерами); время же столкновения порядка величины . Эти значения и устанавливают нижний предел расстояний и длительностей, рассмотрение которых допускается кинетическим уравнением (к происхождению этих ограничений мы вернемся еще в § 16). Но фактически обычно нет необходимости (да и возможности) в столь детальном описании поведения системы; для этого понадобилось бы, в частности, и задание начальных условий (пространственного распределения молекул газа) с такой же точностью, что фактически неосуществимо. В реальных физических вопросах существуют характерные параметры длины L и времени Т, навязываемые системе условиями задачи (характерные длины градиентов макроскопических величин газа, длины и периоды распространяющихся в нем звуковых волн и т. п.). В таких задачах достаточно следить за поведением системы на расстояниях и за времена, малые лишь по сравнению с этими L и Т. Другими словами, малыми лишь по сравнению с L и Т должны быть физически бесконечно малые элементы объема и времени. Усредненными по таким элементам задаются и начальные условия задачи.
Для одноатомного газа величины Г сводятся к трем компонентам импульса атома , а согласно (2,8) функция w в интеграле столкновений может быть заменена функцией
Выразив затем эту функцию через дифференциальное сечение столкновений согласно см. (2,2)), получим
Функция нею и сечение определенное согласно (2,2), содержат в себе -функционные множители, выражающие законы сохранения импульса и энергии, в силу которых переменные (при заданном ) в действительности не независимы. Но после того, как интеграл столкновений выражен в виде (3,9), можно считать, что эти -функции уже устранены соответствующими интегрированиями; тогда будет обычным сечением рассеяния, зависящим (при заданном иотн) только от угла рассеяния.
