Производственная функция в экономике. Основы теории производства и производственная функция

В самом общем виде производство можно определить как деятельность, направленную на преобразование свободных и экономических ресурсов в продукты и услуги. Традиционно выделяются три основные системы производства - заказное, массовое (гибкое инегибкое) ипоточное производство. Первая система предполагает производство по индивидуальным заказам уникального продукта (атомная электростанция, мост). Массовое производствоопределяется как производство большими или небольшими партиями многих видов изделий из однотипных и стандартизированных комплектующих. Выделяют две разновидности массового производства: негибкое и гибкое. Суть негибкого массового производства прекрасно отражена в шутливой фразе Генри Форда: «Потребитель может пожелать машину любого цвета, если этот цвет черный». Гибкое массовое производство предполагает множество комбинаций стандартных комплектующих. Поточноепроизводствохарактеризуется непрерывным потреблением сырья и непрерывным потоком продукции (предприятия химической промышленности, молокоперерабатывающие предприятия).

Способ соединения ресурсов для производства запланированного объема товаров называется технологией производства . Критерием выбора той или иной технологии является эффективность производства. Принято различать экономическую итехнологическуюэффективность производства. Технологическая эффективностьхарактеризует зависимость между используемыми ресурсами и получаемой продукцией в натуральном выражении. Технологическая эффективность конкретного способа производства оценивается двояко: по максимуму выпуска при данной комбинации ресурсов; по минимуму количества ресурсов, обеспечивающих данный объем выпуска.

Экономическая эффективность характеризует стоимостную зависимость между расходами фирмы на оплату факторов производства (издержками) и доходами фирмы (выручкой). Способ производства является экономически эффективным, если он обеспечивает минимальную альтернативную стоимость используемых в производстве ресурсов, то есть экономическая прибыль равна нулю или положительная величина. Выбор фирмой экономически эффективной технологии зависит от сложившихся на данный момент цен на ресурсных рынках. Изменение цен на ресурсы и/или на продукцию фирмы может сделать ранее выбранный способ производства экономически неэффективным.

Технологическая зависимость между количеством ресурсов, затрачиваемых фирмой в единицу времени, и максимально возможным объемом выпускаемой продукции называют производственной функцией:

Рассмотрим следующий пример: на одной фирме из тонны металла делают 730 изделий, на другой – 800 изделий. Как будет выглядеть производственная функция?

Производственная функция, подобно любой другой функции, может быть записана в виде таблицы, уравнения или представлена графиком. Разработано много функций производства, но чаще всего это двухфакторные функции, которые имеют графическое представление. Среди двухфакторных функций наибольшую известность получила функция Кобба-Дугласа:

Все ресурсы, используемые фирмой в процессе производства, условно разделяют на условно-постоянные и переменные. Ресурсы, количество которых не зависит от объема выпуска, является неизменным, относятся к условно-постоянным. Это арендная плата, охрана и отопление. Ресурсы, количество которых связано прямой пропорциональной связью с объемом выпуска, называются переменными. Это электроэнергия, сырьё, труд.

Деление факторов производства на условно-постоянные и переменные позволяет выделить краткосрочный и долгосрочный периоды в деятельности фирмы. Период, в течение которого фирма в состоянии изменить лишь часть ресурсов (переменные), а другая часть остается неизменной (постоянные), называется краткосрочным. Продолжительность рассматриваемых периодов может существенно варьироваться в зависимости от отрасли.

Вопрос 38 . Краткосрочный период производства: убывающая отдача

Для анализа производства в краткосрочном периоде рассмотрим краткосрочную функцию производства, предполагающую наличие у фирмы условно-постоянных (K) и переменных ресурсов (L): Q = f(K,L). Для упрощения анализа предположим, что фирма использует всего два ресурса: труд L и капитал К. Целью анализа организации производства является нахождение оптимальной пропорции между ресурсами, что в краткосрочном периоде реализуется в виде ответа на вопрос: сколько следует приобрести переменного ресурса при известном количестве условно-постоянного ресурса?

В ведем новые понятия: совокупный, средний и предельный продукты.

♦ совокупный продукт (total product, TP) - общий объем произведенных фирмой товаров и услуг за единицу времени;

♦ средний продукт (average product, АР) - совокупный продукт на единицу использованного ресурса. Различают средний продукт по переменному ресурсу AP L = TP/L и средний продукт по постоянному фактору АР К = ТР/К;

♦ предельный продукт (marginal product, MP) - величина прироста совокупного продукта при изменении используемого ресурса на единицу. Помним, что в краткосрочном периоде изменяться может лишь труд.

Предельный продукт труда, MP L рассчитывается по двум возможным формулам. Если производственная функция неизвестна, то рассчитывают дискретный предельный продукт труда: MP L = ∆Q / ∆L.

Если же производственная функция известна, то рассчитывают непрерывный предельный продукт труда: MP L = dQ/dL=Q"(L).

Приведем способ расчета базовых производственных показателей для цеха, в котором установлены 5 станков (табл. 5.1).

5.1. Расчет среднего и предельного продуктов переменного ресурса

L, человек	TP, тыс. штук	AP L , тыс. штук	MP L , тыс. штук







			-5
			-42

Представим полученные результаты графически (рис. 5.1). Как видим, производственный процесс, отраженный в производственной функции, проходит три этапа: возрастающей, убывающей и отрицательной отдачи. Из графика видно, что совокупный продукт достигает максимума при таких затратах переменного ресурса, когда предельный продукт равен нулю. Закон убывающей отдачи гласит, что начиная с некоторого момента дополнительное использование переменного ресурса при неизменном количестве постоянного ресурса ведет к сокращению его предельной отдачи, или предельного продукта. Этот закон носит универсальный характер. Его самый знаменитый пример – это закон убывающего плодородия, который совместно с законом народонаселения Томаса Мальтуса дал основание называть в XIX веке политэкономию «мрачной наукой».

Сформулируйте причину, в силу которой производство на отдельном предприятии никогда не достигает возможного максимума? Сформулируйте правило, по которому предприятие определяет количество затраченного переменного ресурса и, соответственно, пропорцию между условно-постоянным и переменным ресурсами, а также объем выпуска продукции? Предположим, что зарплата 1 работника 20 тысяч рублей, а цена единицы продукции (за минусом стоимости материалов) 1 рубль. Тогда цена труда 1 работника, выраженная в единицах продукции, составит 20 тысяч штук. Поэтому 7-го работника руководитель фирмы нанимать не должен.

Вопрос 39.Долгосрочный период производства: изокоста и изокванта

В долгосрочном периоде все факторы производства являются переменными. Чтобы определить, какая из доступных технологий будет экономически эффективной, рассмотрим модель изокванты и изокосты.

Изоквантапоказывает совокупность всех комбинаций факторов производства, обеспечивающих заданный объем выпуска. Если отложить по горизонтальной оси единицы труда, по вертикальной – единицы капитала, затем обозначить точки, в которых фирма выпускает один и тот же объем, то получится линия изокванты (IQ, «изо» - равный, «кванта» - количество). Набор изоквант, характеризующий данную производственную функцию, называется картой изоквант. Угол наклона линии изокванты характеризуется коэффициентом предельной нормы технологического замещения(Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS).

MRTS капитала по труду показывает, сколько единиц капитала необходимо для замещения выбытия единицы труда или сколько единиц капитала можно сэкономить при увеличении затрат труда на единицу, чтобы объем выпуска не изменился: MRTS L K = dK/dL=K"(L ). На рисунке 5.3 это соответствует изображению труда по оси абсцисс (независимая переменная), а капитала – на оси ординат (зависимая переменная). Сокращение выпуска в результате уменьшения затрат капитала (ΔК= К 2 - К 1) компенсирует увеличение выпуска за счет дополнительного количества труда (ΔL = L 2 - L 1) , так что в итоге выпуск не меняется.

Если поменять расположение ресурсов на осях, то соответственно можно будет рассчитать MRTS труда по капиталу: MRTS K L = dL /dK = L"(K ).

Задача. Производственный процесс характеризуется функцией Q = 10KL. На производстве занято 5 чел. Требуется оценить норму замещения одного работника дополнительным количеством оборудования так, чтобы объем выпуска сохранился на уровне Q = 500 ед. продукции в день.

Решение. Q = 10*K*L = 500

K = 500/L = 50*L -1

MRTS L K = K"(L) = (50*L -1)" = -50* L -2

При L = 5, MRTS L K = -50/25 = -2.

Экономический смыслполученного коэффициента: для сохранения объема производства сокращение рабочих на единицу должно быть компенсировано увеличением объема использованного оборудования (капитала) на 2 единицы и, наоборот, рост числа рабочих на единицу позволяет уменьшить количество капитала на 2 единицы.

Задача (продолжение). Если фирма последовательно увеличивает число занятых на производстве работников, то это сопровождается сокращением абсолютной величины предельной нормы замещения:

при L = 6 чел. MRTS L K = –50/36 = –1,39;

при L = 7 чел. MRTS L K = –50/49 = –1,02;

при L = 10 чел. MRTS L K = –50/100 = –0,5.

При перемещении вниз по кривой абсолютное значение MRTS L K убывает, так как равные дополнительные порции труда позволяют экономить всё уменьшающиеся порции оборудования (рисунок 5.3). В дальнейшем MRTS достигает нулевого значения, а изокванта приобретает горизонтальный вид.

Наличия карты изоквант, однако, недостаточно для ответа на вопрос, какой набор труда и капитала оптимальный, поскольку неизвестны цены ресурсов. Карта изоквантсодержит совокупность технологически возможных комбинаций ресурсов, обеспечивающих фирме соответствующие объемы выпуска. Однако при выборе оптимальной комбинации ресурсов производитель должен учитывать не только доступную ему технологию, но и свои финансовые ресурсы, а также цены на факторы производства.

Совокупность двух последних факторов определяет область доступных производителю экономических ресурсов. Бюджетное ограничение производителя может быть записано в виде неравенства: Р К К + P L L < ТС,

где Р к, P L - цена капитала и труда; К, L - количество капитала и труда;

ТС (total cost) – совокупные расходы фирмы на приобретение ресурсов.

Если производитель полностью расходует свои средства, то мы получаем уравнение изокосты: P k K + P L L = TC или K = TC/P k – (P L /Pk)*L. Из курса математики известно, что уравнение прямой линии: y=a+bx, где коэффициент b характеризует угол наклона прямой линии. Соответственно, угол наклона иозосты количественно характеризуется как «– P L /Pk».

Линия изокосты (рис. 5.5) содержит набор комбинаций экономических ресурсов, которые фирма может приобрести с учетом рыночных цен на ресурсы и при полном использовании своего бюджета.

Оптимальная комбинация ресурсов, обеспечивающая минимимальный уровень совокупных издержек, лежит в точке касания изокосты и изокванты и предполагает выполнение двух условий (рис. 5.6). Во-первых, полное использование финансовых средств, а во-вторых, их распределение между ресурсами, при котором предельная норма технологического замещения одного ресурса другим равнялась бы отношению их цен: MRTS L K = –P L /P K .

MRTS определяет возможность технологического замещения капитала трудом. Отношение цен отражает экономическую способность производителя замещать капитал трудом. Пока эти возможности не сравняются, изменения в соотношении используемых ресурсов будут вести к увеличению объемов выпуска или к уменьшению совокупных издержек фирмы. Условие минимизации издержек выглядит: MP L /P L = MP K /P K . Фирма должна распределить средства так, чтобы получить одинаковый прибавочный продукт на рубль, затраченный на приобретение каждого ресурса.

Совокупность точек оптимума производителя, построенных для изменяющегося объема производства дает траекторию долгосрочного развития фирмы (рис. 5.7).

Форма траектории развития позволяет выделить капиталоемкие, трудоемкие, а также смешанные технологии. К какой технологии относится траектория развития на рисунке 5.7? Как будут выглядеть траектории долгосрочного развития для других типов технологий?

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

понятие производства;
понятие и свойства производственной функции;
что такое технология, постоянные и переменные ресурсы;
закон убывающей отдачи ресурса;
понятия краткосрочного и долгосрочного периодов;
характеристики изоквант и понятие карты изоквант;
технологическую норму замещения труда капиталом;

уметь

различать виды производственной деятельности;
рассчитать показатели краткосрочной производственной функции;
охарактеризовать стадии производства в краткосрочном периоде;

владеть

анализом влияния технического прогресса на функцию производства;
навыками построения изокванты;
навыками определения оптимальной комбинации ресурсов.

Производство: понятие, виды, производственная функция

Понятие и виды производства

Производство – это деятельность но использованию факторов производства с целью достижения наилучшего результата. Если объем использования ресурсов известен, то максимизируется результат. Если известен ожидаемый результат, то минимизируется объем ресурсов.

Виды производственной деятельности:

заказное производство;
негибкое массовое производство;
гибкое массовое производство;
поточное производство.

Заказное производство – производство продукции по индивидуальным заказам (электростанция, мост, авианосец, услуги юридической фирмы, офисное здание). Заказное производство отличается спросом на высококвалифицированный труд. Производство начинается только после получения заказа.

Негибкое массовое производство характеризуется стандартизацией как конечной продукции, так и материалов, технологий, производственных процессов. Основано на применении капиталоемких технологий, которые позволяют непрерывно получать высокий объем готовой продукции. Предприятия, массово производящие стандартные товары, вынуждены влиять на потребителей, чтобы те приспосабливали свои вкусы и потребности к узкому кругу товаров.

Гибкое массовое производство – это объединение преимуществ экономичного массового производства с расширением номенклатуры производимой продукции путем использования различных комбинаций общедоступных стандартных комплектующих. Результатом является семейство похожих товаров, каждый из которых имеет характеристики, рассчитанные на определенный потребительский сегмент.

Поточное производство характеризуется тем, что технология обеспечивает на входе непрерывное потребление сырья и материалов, а на выходе – непрерывный поток продукции. Производство высокоавтоматизировано, требует больших капитальных вложений и малых затрат трудовых ресурсов (примеры: нефтепереработка, производство молока, листового стекла и бумаги). Чем выше степень использования оборудования, тем ниже себестоимость продукции.

Технология – это определенный способ соединения (комбинации) факторов производства в едином производственном процессе, который определяет результирующий уровень выпуска при эффективном использовании факторов производства. Природа накладывает на фирмы технологические ограничения: лишь некоторые комбинации ресурсов представляют собой практически осуществимые способы производства данного объема выпуска. Множество всех комбинаций вводимых ресурсов и выпусков, которые охватывают технологически достижимый способ производства, называется производственным множеством.

Производственная функция и ее свойства

Производственная функция – наиболее удобный способ описания технологически эффективных способов производства. Производственная функция является максимально возможным уровнем производства при данном количестве факторов производства и данной технологии.

В экономической теории традиционно используется двухфакторная производственная функция, которая в общем виде может быть представлена так:

Q=f (K,L ),

где Q – максимально возможный объем выпускаемой продукции в единицу времени; К – капитал; L – труд.

Производственная функция характеризует техническую результативность производства, т.е. зависимость между количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции в единицу времени.

Свойства производственной функции:

ресурсы в большинстве случаев являются субститутами;
ресурсы комплементарны;
в зависимости от изменения факторов производства различают краткосрочный и долгосрочный периоды.

Параметры производственной функции являются натуральными величинами, имеющими размерность "количество/время". Если при оптимально организованном производстве за 1 час 10 рабочих на пяти станках изготавливают 60 деталей, то Q = 60 шт./ час, L = 10 час, К = 5 станко-часов. Для краткости размерность параметров опускается.

Краткосрочный и долгосрочный периоды в анализе производства

Как показывает практика, в своей деятельности фирма сталкивается с ситуациями, которые диктуют ей принятие различных управленческих решений. Иногда ей приходится решать, как наилучшим образом использовать действующее капитальное оборудование. Промежутки времени, в течение которых фирме приходится делать подобный выбор, относятся к краткосрочным периодам.

Краткосрочный период – это промежуток времени, в течение которого фирма варьирует объемы производства, не изменяя количества некоторых факторов производства.

Неизменяемые факторы производства называются постоянными . В их число, как правило, включают капитальное оборудование, а также землю, производственные помещения, услуги высококвалифицированных специалистов, управленцев. Факторы производства, которые по мере колебаний выпуска товаров и услуг могут изменяться в краткосрочном периоде, называются переменными . К ним относят услуги наемных рабочих, сырье, вспомогательные материалы, электро- и теплоэнергию.

Принципиально иное решение должна принимать фирма, когда реальные или ожидаемые изменения рыночной ситуации заставляют ее заменять и капитальное оборудование. Подобные вопросы решаются в течение долгосрочного периода.

Под долгосрочным периодом понимают такой промежуток времени, в течение которого фирма изменяет объемы всех используемых факторов производства.

Особое значение этого периода в экономической теории состоит в том, что в течение него фирма сталкивается с ситуациями, в которых она должна решить, входить или не входить ей в новую отрасль, расширять или сокращать масштабы предприятия, перемещать, модернизировать или реорганизовывать производство.

Отметим, что краткосрочный и долгосрочный периоды не должны ассоциироваться с длительностью периода времени, например краткосрочный – до полугода, а долгосрочный – свыше этого интервала. Эти периоды различаются только тем, какие факторы производства меняет фирма, выпуская тот или иной объем товаров и услуг. В отдельных отраслях (положим, энергетической) краткосрочный период может длиться свыше 10 лет, а в аэрокосмической промышленности долгосрочный период имеет протяженность 2–3 года.

Производство - основная область деятельности фирмы. Фирмы используют производственные факторы, которые называются также вводимыми (входными) факторами производства..

Производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов .

Производственная функция может быть представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема производства. Такой вид функции, когда устанавливается явная зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска.

В частности, широко используются функции выпуска в сельском хозяйстве, где с их помощью изучается влияние на урожайность таких факторов, как, напр., разные виды и составы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными производственной функцией используются обратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимость затрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратны только к ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами). Частными случаями ПФ можно считать функцию издержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционную функцию: зависимость потребных капиталовложений от производственной мощности будущего предприятия .

Существует широкий выбор алгебраических выражений, которые можно использовать для представления производственных функций. Простейшая модель - это специальный случай общей модели анализа производства. Если фирме доступен только один вид деятельности, то производственную функцию можно представить прямоугольными изоквантами с постоянной отдачей от масштаба. Возможность изменять соотношение факторов производства отсутствует, и эластичность замены, безусловно, равна нулю. Это крайне специализированная производственная функция, но ее простота объясняет ее широкое применение во многих моделях .

Математически производственные функции могут быть представлены в различных формах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени ..

Производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.

Рисунок 2 _ Изокванты, соответствующие различному объему производства

На рис. 1 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K 1 единиц капитала и L 1 единиц труда или K 2 единиц капитала и L 2 единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y 2 = 300.

В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество X c , называемое изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора справедливо равенство

Таким образом, для всех наборов ресурсов, соответствующих изокванте, оказываются равными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты

Отсюда коэффициент эквивалентной замены пары факторов j и k равен:

Полученное соотношение показывает, что если производственные ресурсы замещаются в отношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количество производимой продукции остается неизменным. Нужно сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции

который вычисляется вдоль изокванты при неизменном уровне затрат прочих производственных факторов. Величина sjk представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на sjk процентов, то коэффициент взаимной замены sjk изменится на один процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность s jk = 1. Соответственно большие значения sjk свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо .

Для степенных производственных функций для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливо равенство s jk = 1.

Представление эффективного технологического множества с помощью скалярной производственной функции оказывается недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтись единственным показателем, описывающим результаты деятельности производственного объекта, но необходимо использовать несколько (М) выходных показателей (рисунок 3).

Рисунок 3 _ Различные случаи поведения изоквант

В этих условиях можно использовать векторную производственную функцию

Важное понятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением

Аналогичное обобщение допускают все остальные главные характеристики скалярных ПФ.

Подобно кривым безразличия изокванты также подразделяются на различные типы.

Для линейной производственной функции вида

где Y объем производства; A , b 1 , b 2 параметры; K , L затраты капитала и труда, и полном замещении одного ресурса другим изокванта будет иметь линейную форму (рисунок 4, а).

Для степенной производственной функции

Тогда изокванты будут иметь вид кривых (рисунок 4,б).

Если изокванта отражает лишьодин технологический способ производства данного продукта, то труд и капитал комбинируются в единственно возможном сочетании (рисунок 4,в).

г) Ломаные изокванты

Рисунок 4 - Разные варианты изоквант

Такие изокванты иногда называют изоквантами леонтьевского типа по имени американского экономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода inputoutput (затраты выпуск).

Ломаная изокванта предполагает наличие ограниченного количества технологий F (рисунок 4,г).

Изокванты подобной конфигурации используются в линейном программировании для обоснования теории оптимального распределения ресурсов. Ломаные изокванты наиболее реалистично представляют технологические возможности многих производственных объектов. Однако в экономической теории традиционно используют главным образом кривые изокванты, которые получаются из ломаных при увеличении числа технологий и увеличении соответственно точек излома .

Наиболее широко распространены мультипликативно-степенные формы представления производственных функций. Их особенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тот факт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемые первичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным. В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так:

Здесь коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (выпуск). Напр., в ПФ, которая применяется для изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателя принять объем конечного продукта, а сомножителей - численность занятого населения x1, сумму основных и оборотных фондов x2, площадь используемой земли x3. Только два сомножителя у функции Кобба-Дугласа, с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20-30-е гг. ХХ в.:

N = A · Lб · Kв,

где N - национальный доход; L и K - соответственно объемы приложенного труда и капитала (подробнее см.;Кобба-Дугласа функция).

Степенные коэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной производственной функции показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответствующего ресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэффициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличение затрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшему росту выпуска - эффект масштаба .

В динамическом варианте применяются разные формы производственной функции. Например в 2-факторном случае: Y(t) = A(t) Lб(t) Kв(t), где множитель A(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности производственных факторов в динамике.

Логарифмируя, а затем дифференцируя по t указанную функцию, можно получить соотношения между темпами прироста конечного продукта (национального дохода) и прироста производственных факторов (темпы прироста переменных принято здесь описывать в процентах).

Дальнейшая “динамизация” ПФ может заключаться в использовании переменных коэффициентов эластичности.

Описываемые ПФ соотношения носят статистический характер, т. е. проявляются только в среднем, в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых. Кроме того, применяемые показатели как затрат, так и результатов неизбежно являются продуктами сложного агрегирования (напр., обобщенный показатель трудовых затрат в макроэкономической функции вбирает в себя затраты труда разной производительности, интенсивности, квалификации и т. д.).

Особая проблема - учет в макроэкономических ПФ фактора технического прогресса (подробнее см. в ст. “Научно-технический прогресс”). С помощью ПФ изучается также эквивалентная взаимозаменяемость факторов производства (см. Эластичность замещения ресурсов), которая может быть либо неизменной, либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов). Соответственно функции делят на два вида: с постоянной эластичностью замены (CES - Constant Elasticity of Substitution) и с переменной (VES - Variable Elasticity of Substitution) (см. ниже).

На практике применяются три основных метода определения параметров макроэкономических ПФ: на основе обработки временных рядов, на основе данных о структурных элементах агрегатов и о распределении национального дохода. Последний метод называется распределительным.

При построении производственной функции необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции - в противном случае неизбежны грубые ошибки.

Приведем некоторые важные производственные функции.

Линейная производственная функция:

P = a1x1 + ... + anxn,

где a1, ..., an - оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещаемы в любых пропорциях.

Функция CES:

P = A [(1 - б) K-b + бL-b]-c/b,

в этом случае эластичность замещения ресурсов не зависит ни от K, ни от L и, следовательно, постоянна:

Отсюда и происходит название функции.

Функция CES, как и функция Кобба- Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, труда капиталом в функции Кобба-Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба-Дугласа логарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа .

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).
2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:

где - объем выпуска;

K- капитал (оборудование);

М- сырье, материалы;

Т - технология;

N - предпринимательские способности.

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К).

Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы. Еще в 1928 году американские ученые - экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб - создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

где А - производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

K, L- капитал и труд;

б,в -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

Если б = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно выделить:

1) пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

2) непропорционально - возрастающую

3) убывающую

Рассмотрим короткий период деятельности фирмы, в котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов (рисунок 5).

Рисунок 5_ Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов

На рисунке 5 виден график производственной функции Кобба - Дугласа с одной переменной изображен - кривая ТРн .

Функция Кобба-Дугласа имела долгую и успешную жизнь без серьезных соперников, но недавно ей составила сильную конкуренцию новая функция Эрроу, Ченери, Минхаса и Солоу, которую мы будем называть сокращенно SMAC. (Браун и Де Кани также разработали эту функцию независимо). Основное отличие функции SMAC заключается в том, что вводится постоянная эластичности замещения у, отличная от единицы (как в функции Кобба-Дугласа) и нуля: как в модели затраты- выпуск .

Разнообразие рыночных и технологических условий, какое наблюдается в современной экономике, внушает мысль о невозможности удовлетворить основным требованиям разумного агрегирования, за исключением, может быть, отдельных фирм в одной и той же отрасли или ограниченных секторов экономики .

Таким образом, в экономико-математических моделях производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Т.е., производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска. Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска от количества используемых труда и капитала.

Под производством в современной микроэкономике понимается деятельность по использованию факторов производства с целью создания продукта или услуги и достижения наилучшего результата. В процессе производства используются факторы производства: труд, капитал, земля и др. Можно выделить составные части каждого фактора и рассматривать их как самостоятельные факторы. Например, в факторе «труд» могут быть выделены труд менеджеров, инженеров, рабочих и т.д.

В экономической теории выделяют первичные факторы производства, которые в соответствии с теорией факторов производства (ее связывают с именем французского экономиста Жана Б. Сэя) создают новую стоимость. К ним относятся труд, капитал, земля и предпринимательские способности. Вторичные факторы не создают новую стоимость. В современном производстве возрастает роль энергии и информации, им присущи признаки первичных и вторичных факторов.

Производственная функция выражает технологическую взаимосвязь между конечным выпуском и затратами факторов производства и. В неявном виде она записывается следующим образом:

где - форма функции; - максимальный выпуск, который можно получить при используемой технологии и имеющемся количестве факторов производства (и).

В моделях процесса производства, в производственных функциях, учитываются два основных фактора: труд и капитал. Это позволяет проанализировать важнейшие связи и зависимости в процессе производства без упрощения их реального содержания. В производственной функции выпуск, затраты труда и капитала измеряются в натуральных единицах (выпуск в метрах, тоннах и т.п., затраты труда в человеко-часах, капитала - в машино-часах и т.п.).

Примером производственной функции, в явном виде представляющей зависимость между выпуском и затратами факторов производства, является функция Кобба-Дугласа:

где - эффективность технологии;

Частная эластичность выпуска по труду;

Частная эластичность выпуска по капиталу.

Функция была выведена математиком Ч. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 г. на основе статистических данных обрабатывающей промышленности США. Эта сегодня широко известная функция обладает рядом замечательных свойств. Ниже проанализируем экономический смысл ее параметров. Функция Кобба-Дугласа описывает экстенсивный тип производства.

Если используются факторов производства, то производственная функция имеет вид:

где - количество используемого -го фактора производства.

Свойства производственной функции состоят в следующем.

1. Производственные факторы являются взаимодополняющими. Это значит, если затраты хотя бы одного фактора равны нулю, то и выпуск равен нулю:. Исключение составляет функция

В соответствии с такой функцией можно использовать только труд или только капитал, и выпуск не будет равен нулю.

2. Свойство аддитивности означает, что можно объединить факторы производства и. Но объединение целесообразно лишь в том случае, если выпуск после объединения превышает сумму выпусков до объединения факторов производства.
3. Свойство делимости означает, что процесс производства может осуществляться в сокращенных масштабах, если выполняется следующее условие

При этом, если, то имеем неизменную отдачу от масштаба; если - возрастающую отдачу от масштаба; если, то имеет место убывающая отдача от масштаба. При неизменной отдаче средние издержки фирмы не изменяются, при возрастающей - снижаются, при убывающей - возрастают.

Изокванта (или кривая постоянного продукта - (isoquant) представляет собой график производственной функции. Точки на изокванте отражают множество комбинаций факторов производства, использование которых обеспечивает одинаковый выпуск продукции.

Изокванты характеризуют процесс производства подобно тому, как кривые безразличия процесс потребления. Они имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат. Изокванта (рис.), лежащая выше и правее другой изокванты, представляет больший объем выпускаемой продукции (изделий,). Однако, в отличие от кривых безразличия, где общую полезность набора товаров точно измерить нельзя, изокванты показывают реальный объем производства. Совокупность изоквант, каждая из которых представляет максимальный выпуск продукции, получаемый при использовании факторов производства в различных сочетаниях, называется картой изоквант (isoquant map).

Реальная изокванта с выпуском представлена на рис 1.1а в трехмерном пространстве. Ее проекция отмечена пунктирной линией и перенесена на рис. 1.1б . Если используются отмеченные сочетания факторов производства, но применяется более прогрессивная технология, то выпуск будет равен. Но проекция у изокванты с таким выпуском будет той же, что и у изокванты с меньшим выпуском. Экономисты располагают на плоскости изокванту с большим выпуском (рис. 1.1б ) выше и правее изокванты с меньшим выпуском.

На рис. а взаимосвязь между выпуском и затратами нарушается: выпуск получен с большими затратами труда и капитала, чем. Ниже будет показано, как на расположение изокванты оказывает влияние применяемая технология и ее параметры.

Эффективность технологии (параметр в функции Кобба-Дугласа) можно представить графически следующим образом (рис.). В точках и выпуск один и тот же. На рис. б изокванта представляет более эффективную технологию, так как затраты на единицу продукции здесь ниже, чем на изокванте на рис. а .

Производственная функция характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов (факторов производства) и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются полностью и эффективно.

Свойства производственной функции :

1. существует предел увеличения производства , который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти;

2. ресурсы дополняют друг друга , но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот;

3. чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено . В этой связи различают мгновенный, краткосрочный и долгосрочный периоды.

Мгновенный период - период, когда все ресурсы являются фиксированными.

Краткосрочный период - период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным.

Долгосрочный период - период, когда все ресурсы являются переменными.

Общий вид производственной функции:

Q = f(KL),

· Q – заданный объем выпуска;

· L – количество используемого труда;

· K – количество используемого капитала;

· f – функциональная зависимость заданного объема выпуска от количества ресурса.

Графиком производственной функции является изокванта.

Изокванта (греч. «изо» - одинаковый, лат. «кванто» – количество) – это линия (постоянного выпуска), которая отражает все комбинации двух факторов производства (труда и капитала), при которых выпуск остается неизменным. (рис. 3.1).

Рис. 1.13. Изокванта.

Свойства изокванты :

1. Изокванта показывает минимальное количество ресурсов вовлекаемых в процесс производства.

2. Все комбинации ресурсов на отрезке АВ отражают технологически эффективные способы производства заданного объема продукции.

3. Изокванта всегда вогнута (имеет отрицательный наклон) степень вогнутости зависит предельной нормы технологической замены, т.е. от соотношения предельной производительности труда и капитала. При движении сверху – вниз вдоль изокванты предельная норма технологической замены все время убывает, о чем говорит уменьшающийся наклон изокванты.

Предельная норма технологической замены одного ресурса другим – есть количество другого ресурса, которым может быть заменен данный ресурс для получения одного и того же объема выпуска:

o MRTS LK - предельная норма технологической замены труда капиталом;

o MP L – предельная производительность труда;

o MP K – предельная производительность капитала;

o ∆L – приращение труда;

o ∆K – приращение капитала.

Если мы будем сокращать прирост капитала на величину ∆K, то данное сокращение снизит объем продукции на соответствующую величину (– ∆K × МР К).

Если мы будем привлекать единицу рабочей силы, то данное приращение труда увеличит объем продукции на величину (∆L × МРL).

Следовательно, для данного объема продукции верно равенство:

MRTS LK = MP L × ∆L = MP K × ∆K

Обосновать это равенство можно так. Пусть предельный продукт труда составляет 10, а предельный продукт капитала равен 5. Это означает, что, нанимая еще одного работника, фирма увеличивает выпуск на 10 единиц, а, отказываясь от одной единицы капитала, она теряет 5 единиц продукции. Следовательно, чтобы оставить выпуск прежним, фирма может заменить две единицы капитала одним работником.

При бесконечно малых изменениях L и K она предельная норма технологической замены есть производная функции изокванты в данной точке:

Геометрически она представляет собой наклон изокванты (рис. 1.14):

Рис. 1.14. Предельная норма технологической замены

Различают два способа производства заданного объема продукции: технологически эффективный и экономически эффективный.

Технологически эффективный способ производства - производство заданного объема продукции с наименьшим количеством труда и капитала.

Экономически эффективный способ производства -производство заданного объема продукции с наименьшими затратами.

Рис 1.15. Технологически эффективное и неэффективное производство

o способ производства А – технологически эффективный в сравнении со способом В , т.к. он требует использования хотя бы одного ресурса в меньшем количестве.

o способ производства В технологически неэффективный в сравнении с А (отрезок, выделенный пунктиром, отражает все технологически неэффективные способы производства).

Технологически неэффективные способы производства не используются рациональными предпринимателями и не относятся к производственной функции. Следовательно, изокванта не может иметь положительный наклон (рис. 1.16):

Карта изоквант - cовокупностьизоквант (рис.1.16).