3. Определяем из условия прочности диаметр вала.

= ≤ → ≥ ;

= → d = ≈73мм.

4. Определяем из условия жесткости диаметр вала

= ≤ → Jp ≥ = =1458125

Jp = → d = = = 62мм

5. Окончательно принимаем диаметр вала d=75 мм.

4. Задания для самостоятельного решения

Задача №1

Для заданных брусьев, построить эпюру крутящих моментов и определить опасное сечение.

Ответ: Mz max a) 2m; б) 4m; в) 4m; д) 18кНМ; е) 45кНМ

Задача №2

Определить отношение диаметров и масс двух валов одинаковой прочности и длины, передающих одинаковую мощность, если один вал вращается n 1 =800мин -1 , другой с n 2 =1200мин -1 .

Ответ: d 1:d 2 =1,15; m 1:m 2 =1,31

Задача №3

Стальной вал вращается с частотой вращения n=980мин -1 и передает мощность Р=40кВт. Определить требуемый диаметр вала, если допускаемое касательное напряжение [τ к ]=25МПа

Ответ: d=43мм.

Задача №4

Стальной брус кольцевого поперечного сечения (d=100мм и d 0 =80мм) длиной 3М закручен на угол 3 0 . Вычислить наибольшие касательные напряжения, возникающие в брусе.

Ответ: τ max =70МПа

Задача №5

Стальной вал d=60мм имеет частоту вращения n=900мин -1 . Определить допускаемое значение передаваемой мощности, если [φ 0 ]=0,5

Ответ: [Р]=83,4кВт

Задача №6

Проверить прочность и жесткость стальных брусьев, если [τ к ]=40МПа; [φ 0 ]=0,6

Ответ: а) τ max =68,4МПа; φ 0 max =1,63 ;

б) τ max =27,6 МПа; φ 0 max =0,4 .

Задача №7

Определить требуемые размеры поперечного сечения бруса, если предел текучести τ m =140 МПа, а требуемый коэффициент запаса прочности [n]=2,5

Ответ: d=65мм

Задача №8

Вал передает момент М=10кНМ

Подобрать размеры поперечного сечения вала для 2 x случаев: а) сплошного кругового сечения; б) кольца при d 1 = Д.

Сравнить сечения с точки зрения экономии материала.

Допускаемое касательное напряжение [τ к ]=60МПа.

Ответ: d=94мм; Д=127мм; d 1 =111мм; ≈ 2,35.

Список литературы

1. Ицкович Г.М. «Сопротивление материалов» М.: Высшая школа, 2005.

2. Аркуша А.И. «Техническая механика», «Теоретическая механика и сопротивление материалов». М.: Высшая школа., 2002

3. Вереина Л.М, Краснов М.М. «Техническая механика» М.: Академия., 2008

Сплошные линии соответствуют положительным значениям w, а пунктирные – отрицательным, по правилу знаков. §1.3 Мембранная аналогия Из примера, разобранного в предыдущем параграфе, становится очевидным, что задачи о кручении стержня более сложной формы поперечного сечения может оказаться весьма трудным. Для приближенного решения задач о кручения стержней различных сечений, часто встречающихся в...

Будут соответственно обозначать диаметр болтов и допускаемое напряжение материала болтов на сдвиг (срез). ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ При рассмотрении деформации растяжения, сжатия, сдвига было установлено, что прочность и жесткость элементов конструкций зависит только от величины поперечного сечения и свойств материала элементов. При деформациях кручения и изгиба, при...

При расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могут решаться три задачи:

а) проверочный расчет – проверить, выдержит ли вал приложенную нагрузку;

б) проектировочный расчет - определить размеры вала из условия его проч­ности;

в) расчет по несущей способности - определить максимально допустимый крутящий момент.

1) по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

2) выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого ма­териала допускаемое напряжение, например по формуле (5.9), ;

3) для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

Проектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основе следующего соотношения:

Для сплошного круглого сечения , отсюда можем записать вы­ражение для определения диаметра вала из условия его прочности:

Для кольцевого сечения

Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость.

Условие жесткости требует, чтобы максимальный относительный угол закручивания , был меньше или в предельном случае равен допускаемому углу закручивания единицы длины вала, т.е.

Из условия прочности можно найти необходимый для обеспечения прочности полярный момент сопротивления сечения, а по нему и диаметр вала:

Но Wp = 0,2d 3 , поэтому

Из формулы (5.11) можно найти необходимый полярный момент инерции сечения, а по нему и диаметр вала

В этой формуле допускаемый относительный угол закручивания должен быть выражен в радианах; если этот угол дан в градусах, то соотношение для определения I p будет выглядеть следующим образом:

но I p = 0,1d 4 , поэтому

Из двух диаметров, рассчитанных по формулам (5.12) и (5.13), в качестве окончательного диаметра выбирается больший, который обычно округляется до целых миллиметров.

В случае расчета размеров вала кольцевого поперечного сечения при заданном соотношении внутреннего d вн и наружного диаметров d, т.е. при заданном параметре k = d вн /d , формулы (5.12) и (5.13) принимают вид:

Пример 4.

Подобрать диаметр сплошного вала, передающего мощность N =450 л.с. при частоте вращения n =300 об/мин. Угол закручивания не должен превышать одного градуса на 2 метра длины вала; МПа, МПа.

Решение.

Крутящий момент определяем из уравнения

Диаметр вала по условию прочности определяется из уравнения

Диаметр вала по условию жесткости определяется из уравнения

Выбираем больший размер 0,112 м.

Пример 5.

Имеются два равнопрочных вала из одного материала, одинаковой длины, передающих одинаковый крутящий момент; один из них сплошной, а другой полый с коэффициентом полости . Во сколько раз сплошной вал тяжелее полого?

Решение.

Равнопрочными валами из одинакового материала считаются такие валы, у которых при одинаковых крутящих моментах, возникают одинаковые максимальные касательные напряжения, то есть

Условие равной прочности переходит в условие равенства моментов сопротивления:

Откуда получаем:

Отношение весов двух валов равно отношению площадей их поперечных сечений:

Подставляя в это уравнение отношение диаметров из условия равной прочности, получим

Как показывает этот результат, полый вал, будучи одинаковым по прочности, вдвое легче сплошного. Это объясняется тем, что в силу линейного закона распределения касательных напряжений по радиусу вала, внутренние слои относительно мало нагружены.

Пример 6.

Найти мощность в квт, передаваемую валом, если диаметр сплошного вала d=0,15 м, число оборотов вала в минуту n=120, модуль сдвига и угол закручивания участка вала длиной 7,5 м равен 1/15 ра­диан.

Решение.

Из формулы

Определим передаваемую мощность

Пример 7.

Определить, на сколько процентов увеличится на­ибольшее напряжение вала при кручении, если в валу сделано центральное отверстие (С=0,4).

Решение.

Полагая , полу­чим следующие выражения для напряжений сплошного и полого валов:

Искомая разница в напряжениях

Пример 8.

Заменить сплошной вал диаметра d =300 мм по­лым равнопрочным валом с наружным диаметром =350 мм. Найти внутренний диаметр полого вала и сравнить веса этих валов.

Решение.

Наибольшие касательные напряжения в обоих валах должны быть равными между собой:

Отсюда определим коэффициент С

Внутренний диаметр полого вала

Отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений:

Из приведенных примеров 5 и 6 видно, что изготовление пусто­телых валов, т.е. валов, у которых малонагруженная внутренняя часть удаляется, является весьма эффективным средством сниже­ния затраты материала, а следовательно, и облегчения веса валов. При этом наибольшие напряжения, возникающие в пустотелом валу, мало отличаются от максимальных напряжений в валу сплошного сечения при том же наружном диаметре.

Так в примере 5 за счет сверления при , да­ющем облегчение вала на 16%, максимальные напряжения в наруж­ных волокнах полого вала возросли всего на 2,6%. В примере 6 равнопрочный пустотелый вал, но с несколько большим наружным диаметром по сравнению со сплошным валом, оказался легче сплошного на 53,4%. Эти примеры наглядно свидетельствуют о рацио­нальности применения пустотелых валов, что широко используется внекоторых областях современного машиностроения, в частности, в моторостроении.

Пример 9.

На участке сплошного круглого вала D =10 см действует крутящий момент Т =8 кHм. Проверить прочность и жёсткость вала, если τ adm =50 МПа, К t adm =0,5 град/м и модуль сдвига G =0,8∙10 5 МПа.

Решение.

Условие безопасной прочности

Выразив K t в размерности град/м, получим

что превышает величину допускаемого относительного угла закручивания K t adm =0,5 град/м на 16%.

Следовательно – прочность вала обеспечена τ м ax =40,75 МПа < 50 МПа, а жёсткость не обеспечена.

Пример 10.

Стальной вал кольцевого сечения D =10 см, d =8 см нагружен моментом, вызвавшим τ мах =τ adm =70 МПа. Что произойдёт, если этот вал заменить сплошным круглым валом диаметром 8 см (материал сохранён).

Решение.

Максимальные касательные напряжения в вале

Для кольцевого сечения а для вала сплошного сечения . По условию для вала кольцевого сечения τ мах =70 МПа, очевидно, что для вала сплошного сечения максимальные напряжения будут больше во столько раз, во сколько его момент сопротивления меньше.

Пример 11.

Для сплошного вала (пример 10) определить появились ли пластические деформации, если известно, что n adm =1,8?

Решение.

Для пластичных материалов n adm =τ max /τ adm , следовательно τ у =70∙1,8=126 Мпа.

Действующие напряжения превысили предел текучести, следовательно появились пластические деформации.

Пример 12.

К стальному валу (см.рис.5.10) приложены скручивающие моменты: М 1 , M 2 , M 3 , M 4 . Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Дано: М 1 = М 3 = 2 кНм, М 2 = М 4 = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м, = 80 МПа.

Рис.5.10

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

При построений эпюр М кр примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним окручивающим моментам с помощью метода сечений. На основании метода сечения крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты всех поперечных сечений удобно выражать через внешние моменты, приложенные с той стороны от рассматриваемого сечения, с которой расположен свободный конец. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Для построения эпюры крутящих моментов необходимо найти величины крутящих моментов на каждом участке вала.

I участок (КД ):

II участок (СД ):

III участок (СВ ):

IV участок (ВА ):

По значению этих моментов строим эпюру М кр в выбранном масштабе. Положительные значения М кр откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры (см. рис.5.11). мм. Крутящий момент – 40 Нм. Модуль сдвига материала трубы

Подобрать размеры поперечного сечения вала (рис. 1) по условию прочности . На участках от сечения 1 до сечения 3 и от сечения 5 до сечения 6 наружный диаметр вала по конструктивным соображениям должен иметь одинаковый размер.

На участке от сечения 1 до сечения 2 вал кольцевого поперечного сечения с n=d B /d=0,4. На участках от сечения 3 до сечения 5 вал подбирается только по условию прочности .

М = 1 кН∙м, [τ ] = 80 МПа.

Решение

Разбиваем вал на силовые участки , строим эпюру крутящего момента (рис. 1,б).

Определяем диаметры вала. На I, II и V участках наружный диаметр вала одинаков. Для них не возможно заранее указать сечение с наибольшим значением касательного напряжения, так как различные участки имеют различные типы поперечного сечения: I участок – кольцевое, II и V – сплошное круглое.

Приходится определять отдельно по условию прочности диаметры для каждого типа поперечного сечения по наиболее нагруженному силовому участку (то есть тому, на котором действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент). Окончательно примем наибольший полученный диаметр.

Для участка с кольцевым сечением:

Для вала сплошного поперечного сечения

Окончательно принимаем наибольшее значение полученного диаметра, округленное до целого значения в большую сторону:

d 1 = d 2 = d 5 = 61 мм;

d B1 = n∙d 1 = 0,4∙61 = 24,4 мм.

Наибольшее действующее на этих участках напряжение:

Диаметр вала на III участке (М К3 = 5М = 5 кНм).

КРУЧЕНИЕ

Последовательность решения задачи

1. Определить внешние скручивающие моменты по формуле

М= Р /ω

где Р - мощность,

ω - угловая скорость.

2. Так как при равномерном вращении вала алгебраическая сумма приложенных к нему внешних скручивающих (вращающих) моментов равна нулю определить уравновешивающий момент, используя уравнение равновесия

∑ М i z = 0

3. Пользуясь методом сечений, построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

4. Для участка вала, в котором возникает наибольший крутящий момент, определить диаметр вала круглого или кольцевого сечения из условия прочности и жесткости. Для кольцевого сечения вала принять соотношение диаметров

где d о - внутренний диаметр кольца;

d - наружный диаметр кольца.

Из условия прочности:

Из условия жесткости:

где M zmax - наибольший крутящий момент;

W p - полярный момент сопротивления кручению;

[τ кр ] - допускаемое касательное напряжение

где J p - полярный момент инерции сечения;

G - модуль упругости при сдвиге;

[φ о ] - допускаемый угол закручивания сечении

Сечение вала - круг

Необходимый по прочности диаметр вала:

Необходимый по жесткости диаметр вала:

Сечение вала - кольцо

Необходимый по прочности наружный диаметр кольца:

Необходимый по жесткости наружный диаметр кольца:

Пример 1 . Для стального вала (рис.1) постоянного по длине сечения требуется: 1) определить значения моментов М 2 и М 3 , соответствующие передаваемым мощностям Р 2 и Р 3 , а также уравновешивающий момент М 1 ; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить требуемый диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) (б) - c =d 0 / d=0,8.

Принять: [ τ кр ] = 30 МПа ; [ φ 0 ] = 0,02 рад/м; Р 2 = 52 кВт; Р 3 = 50 кВт; ω = 20 рад/с; G = 8  10 4 МПа

Рис. 1 - Схема задачи

Решение:

1. Определяем внешние скручивающие моменты:

М 2 = Р 2 / ω = 52  10 3 / 20 = 2600 Н  м

М 3 = Р 3 / ω = 50  10 3 / 20 = 2500 Н  м

2. Определяем уравновешивающий момент М 1 :

∑ М i z = 0; М 1 – М 2 – М 3 =0

М 1 = М 2 + М 3 = 5100 Н  м

3. Определяем крутящий момент по участкам вала:

М z I = М 1 = 5100 Н  м

М z II = М 1 – М 2 = 5100 – 2600 = 2500 Н  м

Строим эпюру крутящих моментов М z (рис. 2).

Рис. 2 - Эпюра крутящих моментов

4. Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткости, принимая М z max = 5100 Н  м (рис. 2).

а) Сечение вала – круг.

Из условия прочности:

Принимаемd = 96 мм

Из условия жесткости:

Принимаем d = 76 мм

Требуемый диаметр получился больше из расчета на прочность, поэтому его принимаем как окончательный d = 96 мм.

б) Сечение вала - кольцо.

Из условия прочности:

Принимаем d = 114 мм

Из условия жесткости:

Принимаем d = 86 мм

Требуемые диаметры окончательно принимаем из расчетов на прочность:

Наружный диаметр кольца d = 114 мм

Внутренний диаметр коль ца d о = 0,8  d = 0,8  114 = 91,2 мм. Принимаем d о =92 мм .

Задача 1. Для стального вала (рис.3) постоянного поперечного сечения требуется: 1) определить значения моментов М 1 , М 2 , М 3 и М 4 ; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) поперечное сечение вала - круг; по варианту (б) - поперечное сечение вала - кольцо, имеющее соотношение диаметров c =d 0 / d=0,7. Мощность на зубчатых колесах принять Р 2 = 0,5Р 1 ; Р 3 = 0,3Р 1 ; Р 4 = 0,2Р 1 .

Принять: [ τ кр ] = 30 МПа ; [ φ 0 ] = 0,02 рад/м; G = 8  10 4 МПа

Окончательное значение диаметра округлить до ближайшего четного (или оканчивающегося на пять) числа.

Данные своего варианта взять из таблицы 1

Указание. Полученное расчётное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0, 2, 5, 8.

Таблица 1 - Исходные данные

Номер схемы на рисунке 3.2.5

Р 1

Варианты

рад/с

кВт

Рис. 3 - Схема задачи