Существуют четыре основных арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Они – основа математики, с их помощью производятся все остальные, более сложные вычисления. Сложение и вычитание – простейшие из них и взаимно противоположны. Но с терминами, используемыми при сложении, мы чаще сталкиваемся в жизни.
Говорим о «сложении усилий» при старании совместно получить нужный результат, о «слагаемых достигнутого успеха» и т.п. Названия же, связанные с вычитанием, остаются в пределах математики, редко появляясь в повседневной речи. Поэтому менее привычны слова «вычитаемое», «уменьшаемое», «разность». Правило нахождения каждого из данных компонентов возможно применить лишь при понимании значения этих названий.
В отличие от многих научных терминов, имеющих греческое, латинское или арабское происхождение, в данном случае используются слова с русскими корнями. Так что понять их значение несложно, а значит легко и запомнить, что каким термином обозначается.
Если присмотреться к самому названию, становится заметно, что оно имеет отношение к словам «разный», «разница». Из этого можно заключить, что имеется в виду установленная разница между количествами.
Данное понятие в математике означает:
- разницу между двумя числами;
- это показатель того, насколько одно количество больше или меньше другого;
- это результат, полученный при выполнении вычитания — такое определение предлагает школьная программа.
Обратите внимание! Если количества равны друг другу, то между ними нет разницы. Значит разность их равняется нулю.
Что такое уменьшаемое и вычитаемое
Как следует из названия, уменьшаемое – это то, что делают меньше. А сделать количество меньшим можно, отняв от него часть. Таким образом, уменьшаемым называется число, от которого отнимают часть.
Вычитаемым, соответственно, называется то число, которое от него отнимают.
| Уменьшаемое | Вычитаемое | Разность | ||
| 18 | — | 11 | = | 7 |
| 14 | — | 5 | = | 9 |
| 26 | — | 22 | = | 4 |
Полезное видео: уменьшаемое, вычитаемое, разность
Правила нахождения неизвестного элемента
Разобравшись в терминах, несложно установить, по какому правилу находится каждый из элементов вычитания.
Поскольку разность – результат данного арифметического действия, то ее и находят с помощью этого действия, никаких других правил тут не требуется. Но они есть на случай, если неизвестен другой член математического выражения.
Как найти уменьшаемое
Данным термином, как было выяснено, называют количество, из которого вычли часть. Но если одну вычли, а другая осталась в итоге, следовательно, из этих двух частей число и состоит. Получается, что найти неизвестное уменьшаемое можно, сложив два известных элемента.
Итак, в данном случае, чтобы найти неизвестное, следует выполнить сложение вычитаемого и разности:
Так же и во всех подобных случаях:
| ? | – | 5 | = | 9 |
| 9 | + | 5 | = | 14 |
Из примера видно, что от 18 отняли некоторую величину, и осталось 7. Чтобы найти эту величину, надо от 18 отнять 7.
| 26 | – | ? | = | 4 |
| 26 | – | 4 | = | 22 |
Таким образом, зная точное значение названий, можно легко догадаться, по какому правилу следует искать каждый неизвестный элемент.
Полезное видео: как найти неизвестное уменьшаемое
Вывод
Четыре основных арифметических действия – та база, на которой основываются все математические вычисления, от простых до самых сложных. Конечно, в наше время, когда люди стремятся перепоручить технике все вплоть до мыслительного процесса, привычнее и быстрее производить вычисления с помощью калькулятора. Но любое умение увеличивает независимость человека – от технических средств, от окружающих. Не обязательно делать математику своей специальностью, но обладать хотя бы минимальными знаниями и умениями – значит иметь дополнительную опору для собственной уверенности.
Слагаемое, сумма; уменьшаемое, вычитаемое, разностьЮргель Ольга Александровна
1 класс (1-4)
Цель:
- закрепить знание названий компонентов сложения и вычитания; продолжить работу по формированию прочных, осознанных, доведенных до автоматизма навыков вычислений в пределах 20;
- развивать математическую речь учащихся;
- воспитывать аккуратность при работе в тетради.
Оборудование: изображение инопланетян, буквы с примерами, линейка с рисунками и примеры к ней.
Ход урока :
I Орг. момент.
II Устный счет.
Сегодня к нам на урок прилетели гости. Это необычные гости. Хотите отгадать, кто это? Для этого нужно решить примеры на карточках с буквами и поставить их по порядку под соответствующими числами:
Дети решают примеры на карточках (сложение и вычитание в пределах 20 с ответами от 1 до 12, в соответствии с таблицей). Читают появившееся слово: инопланетяне.
- Правильно! Это инопланетяне. А вот и они. (На доску прикрепляется изображение инопланетян.)
Приземление состоялось. Они пока еще не знают нашего языка и говорят со мной мысленно. Это называется телепатией. Они говорят мне, что хотят изучить Землю и людей. И они хотят познакомиться с вами.
Первое, что они хотят исследовать, это ваша сообразительность. Для этого они просят представить в виде десятков и единиц числа. А какие это числа, попробуем мысленно прочитать. Инопланетяне посылают нам сигнал. Ну-ка, кто угадает числа?
Дети называют числа, если число двузначное, значит, верно прочитали мысли. Число представляют в виде суммы разрядных слагаемых.
На планете, где живутнаши гости, вместо цифр используются другие значки. Посмотрите, они привезли с собой линейку:
а) Сравните числа: листочек и вишенка; груша и звездочка; морковка и флажок; солнышко и гриб.
Записываются неравенства с использованием данных значков.
б) Решите примеры:
Цветочек + 1
Морковка – 1
Треугольник + 2
Груша – 2
Вишенка – 2
Записывают примеры на доске.
А теперь давайте-ка покажем, как мы умеем решать наши земные примеры:
Дети решают примеры на счетных веерах.
III Работа над темой урока.
А теперь внимание, инопланетяне мысленно стараются помочь вам получше запомнить компоненты сложения. Как называются числа, которые мы складываем?(Слагаемые.)
Повторим хором.
Дети повторяют сначала тихо, потом все громче и громче.
Как называется результат сложения? (Сумма.)
Назовите слагаемые и сумму:
А теперь решите-ка вот этот пример:
Теперь почувствуйте, как ваша память снова включается. Почувствовали?
19 – это уменьшаемое.
Повторяют хором.
Как вы думаете, почему этот компонент так назвали? (Потому что это число будет меньше, когда вычтем.)
4 – это вычитаемое . (Хором)
Почему так называется? (Мы его вычитаем.)
А то, что получилось в результате – это разность . (Хором.)
IV Работа по учебнику.
Примеры № 4 (Дети работают в парах.)
Найдите примеры, где в результате должна получиться сумма. Запишите и решите любой. А теперь объясните соседу, где слагаемые, а где сумма.
Найдите примеры, где в ответе получится разность. Запишите и решите любой. Объясните соседу, где уменьшаемое, где вычитание, а где разность.
с. 55 № 4 – устно.
V Работа в тетрадях.
№ 1 – решение задачи
№ 6 – самостоятельно (поставьте знаки >, < или =)
VI Итог урока.
А теперь, ребята, инопланетяне просят повторить вас, чем мы занимались сегодня на уроке, что повторяли?
Они привезли с собой пятерки, которые ставят в школах на их планете.
(Учитель раздает призы тем детям, которые были наиболее активны на уроке.)
Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.
Арифметические действия с числами
Основными арифметическими действиями в математике являются:
- сложение;
- вычитание;
- умножение;
- деление.
Каждый результат этих действий также имеет своё название:
- сумма - результат, получившийся при сложении чисел;
- разность - результат, получившийся при вычитании чисел;
- произведение - результат умножения чисел;
- частное - результат деления.
Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:
- сумма - прибавить;
- разность - отнять;
- произведение - умножить;
- частное - разделить.
Рассматривая определения , что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:
И все эти определения являются верными .
Как найти разницу величин
Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:
- Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.
Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:
- Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.
Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?
- Уменьшаемое - это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
- Вычитаемое - это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.
Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:
- Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
- Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность .
Математические действия с разностью чисел
Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.
Простые примеры
- Пример 1. Найти разницу двух величин.
20 - уменьшаемое значение,
15 - вычитаемое.
Решение: 20 - 15 = 5
Ответ: 5 - разница величин.
- Пример 2. Найти уменьшаемое.
48 - разность,
32 - вычитаемое значение.
Решение: 32 + 48 = 80
- Пример 3. Найти вычитаемое значение.
7 - разность,
17 - уменьшаемая величина.
Решение: 17 - 7 = 10
Ответ: вычитаемое значение 10.
Более сложные примеры
На примерах 1-3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.
- Пример 4. Найти разницу трёх значений.
Даны целые значения: 56, 12, 4.
56 - уменьшаемое значение,
12 и 4 - вычитаемые значения.
Решение можно выполнить двумя способами .
1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):
1) 56 - 12 = 44 (здесь 44 - получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);
2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):
1) 12 + 4 = 16 (где 16 - сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);
2) 56 - 16 = 40.
Ответ: 40 - разница трёх значений.
- Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.
Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где
4/5 - уменьшаемая дробь,
3/5 - вычитаемая.
Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.
Решение: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5
Ответ: 1/5.
- Пример 6. Утроить разницу чисел.
А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?
Вновь прибегнем к правилам:
- Удвоенное число - это величина, умноженная на два.
- Утроенное число - это величина, умноженная на три.
- Удвоенная разность - это разница величин, умноженная на два.
- Утроенная разность - это разница величин, умноженная на три.
7 - уменьшаемая величина,
5 - вычитаемая величина.
2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 - разница чисел 7 и 5.
- Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.
7 - уменьшаемая величина;
18 - вычитаемая.
Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?
И опять есть применяемое для конкретного случая правило:
- Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.
Ответ: - 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.
Математика для блондинок
Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок - один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.
В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее - на калькуляторе. Калькулятор - это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела - это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг - это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.
И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:
- сумму - сложением слагаемых;
- произведение - умножением множителей;
- частное - делением делимого на делитель.
Вот такая интересная арифметика.
Основные правила по математике.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из значения суммы вычесть известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к значению разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо значение произведения разделить на известный множитель
Чтобы найти неизвестное делимое, надо значение частного умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на значение частного.
Законы действия сложения:
Переместительный: а + в = в + а (от перестановки мест слагаемых значение суммы не изменяется)
Сочетательный: (а + в) + с = а + (в + с) (Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго н третьего слагаемых).
Закон сложения числа с 0: а + 0 = а (при сложении числа с нулём, получаем то же самое число).
Законы умножения:
Переместительный: а ∙ в = в ∙ а (от перестановки мест множителей значение произведения не изменяется)
Сочетательный: (а ∙ в) ∙ с = а ∙ (в ∙ с) – Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.
Распределительный закон умножения: а ∙ (в + с) = а ∙ с + в ∙ с (Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить).
Закон умножения на 0: а ∙ 0 = 0 (при умножении любого числа на 0 получается 0)
Законы деления:
а: 1 = а (При делении числа на 1 получается то же самое число)
0: а = 0 (При делении 0 на число получается 0)
На ноль делить нельзя!
Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его длины и ширины. Или: периметр прямоугольника равен сумме удвоенной ширины и удвоенной длины: Р = (а + в) ∙ 2,
Р = а ∙ 2 + в ∙ 2
Периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на 4 (Р = а ∙ 4)
1 м = 10 дм = 100 см 1 час = 60 мин 1т = 1000 кг = 10 ц 1м = 1000 мм
1 дм = 10 см = 100 мм 1 мин = 60 сек 1 ц = 100 кг 1 кг = 1000 г
1 см = 10 мм 1 сут = 24 час 1 км = 1000 м
При выполнении разностного сравнения из большего числа вычитают меньшее, при выполнении кратного сравнения – большее число делят на меньшее.
Равенство, содержащее неизвестное, называется уравнением. Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит, найти его корень.
Диаметр делит круг пополам – на 2 равные части. Диаметр равен двум радиусам.
Если в выражении без скобок присутствуют действия первой (сложение, вычитание) и второй (умножение, деление) ступени, то сначала выполняются по порядку действия второй ступени, а уже потом действия второй ступени.
12 часов дня – это полдень. 12 часов ночи – это полночь.
Римские цифры: 1 – I, 2 –II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII, 13 – XIII, 14 – XIV, 15 – XV, 16 – XVI, 17 – XVII, 18 – XVIII, 19 – XIX, 20 – XX и т.д.
Алгоритм решения уравнения: определить чем является неизвестное, вспомнить правило, как найти неизвестное, применить правило, сделать проверку.
Вычитание - это арифметическое действие обратное сложению, посредством которого из одного числа вычитают (отнимают) столько единиц, сколько их содержится в другом числе.
Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым , число, которое указывает сколько единиц будет вычтено из первого числа, называется вычитаемым . Число, получаемое в результате вычитания, называется разностью (или остатком ).
Рассмотрим вычитание на примере. На столе лежит 9 конфет, если съесть 5 конфет, то их останется 4. Число 9 является уменьшаемым, 5 - вычитаемым, а 4 - остатком (разностью):
Для записи вычитания используется знак - (минус). Он ставится между уменьшаемым и вычитаемым, при этом уменьшаемое записывается слева от знака минус, а вычитаемое - справа. Например, запись 9 - 5 означает, что из числа 9 вычитается число 5. Справа от записи вычитания ставят знак = (равно), после которого записывают результат вычитания. Таким образом, полная запись вычитания выглядит так:
Эта запись читается так: разность девяти и пяти равняется четырём или девять минус пять равно четыре.
Чтобы в результате вычитания получить натуральное число или 0, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого или равно ему.
Рассмотрим, как, используя натуральный ряд, можно выполнить вычитание и найти разность двух натуральных чисел. Например, нам необходимо вычислить разность чисел 9 и 6, отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево 6 чисел. Получим число 3:
Вычитание также можно использовать для сравнения двух чисел. Желая сравнить между собой два числа, мы задаёмся вопросом, на сколько единиц одно число больше или меньше другого. Чтобы узнать это, надо из большего числа вычесть меньшее. Например, чтобы узнать, на сколько 10 меньше 25 (или на сколько 25 больше 10), надо из 25 вычесть 10. Тогда найдём, что 10 меньше 25 (или 25 больше 10) на 15 единиц.
Проверка вычитания
Рассмотрим выражение
где 15 - это уменьшаемое, 7 - это вычитаемое, а 8 - разность. Чтобы узнать правильно ли было выполнено вычитание, можно:
- вычитаемое сложить с разностью, если получится уменьшаемое, то вычитание было выполнено верно:
