Прямой изгиб – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.
Чистый изгиб – это частный случай прямого изгиба, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю.
Пример чистого изгиба – участок CD на стержне AB . Изгибающий момент – это величина Pa пары внешних сил, вызывающая изгиб. Из равновесия части стержня слева от поперечного сечения mn следует, что внутренние усилия, распределенные по этому сечению, статически эквивалентны моменту M , равному и противоположно направленному изгибающему моменту Pa .
Чтобы найти распределение этих внутренних усилий по поперечному сечению, необходимо рассмотреть деформацию стержня.
В простейшем случае стержень имеет продольную плоскость симметрии и подвергается действию внешних изгибающих пар сил, находящихся в этой плоскости. Тогда изгиб будет происходить в той же плоскости.
Ось стержня nn 1 – это линия, проходящая через центры тяжести его поперечных сечений.
Пусть поперечное сечение стержня – прямоугольник. Нанесем на его грани две вертикальные линии mm и pp . При изгибе эти линии остаются прямолинейными и поворачиваются так, что остаются перпендикулярными продольным волокнам стержня.
Дальнейшая теория изгиба основана на допущении, что не только линии mm и pp , но все плоское поперечное сечение стержня остается после изгиба плоским и нормальным к продольным волокнам стержня. Следовательно, при изгибе поперечные сечения mm и pp поворачиваются относительно друг друга вокруг осей, перпендикулярных плоскости изгиба (плоскости чертежа). При этом продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а волокна на вогнутой стороне – сжатие.
Нейтральная поверхность – это поверхность, не испытывающая деформации при изгибе. (Сейчас она расположена перпендикулярно чертежу, деформированная ось стержня nn 1 принадлежит этой поверхности).
Нейтральная ось сечения – это пересечение нейтральной поверхности с любым с любым поперечным сечением (сейчас тоже расположена перпендикулярно чертежу).
Пусть произвольное волокно находится на расстоянии y от нейтральной поверхности. ρ – радиус кривизны изогнутой оси. Точка O – центр кривизны. Проведем линию n 1 s 1 параллельно mm . ss 1 – абсолютное удлинение волокна.
Относительное удлинение ε x волокна
Из этого следует, что деформации продольных волокон пропорциональны расстоянию y от нейтральной поверхности и обратно пропорциональны радиусу кривизны ρ .
Продольное удлинение волокон выпуклой стороны стержня сопровождается боковым сужением , а продольное укорочение вогнутой стороны – боковым расширением , как в случае простого растяжения и сжатия. Из-за этого вид всех поперечных сечений меняется, вертикальные стороны прямоугольника становятся наклонными. Деформация в боковом направлении z :
μ – коэффициент Пуассона.
Вследствие такого искажения все прямые линии поперечного сечения, параллельные оси z , искривляются так, чтоб остаться нормальными к боковым сторонам сечения. Радиус кривизны этой кривой R будет больше, чем ρ в таком же отношении, в каком ε x по абсолютной величине больше чем ε z , и мы получим
Этим деформациям продольных волокон отвечают напряжения
Напряжение в любом волокне пропорционально его расстоянию от нейтральной оси n 1 n 2 . Положение нейтральной оси и радиус кривизны ρ – две неизвестные в уравнении для σ x – можно определить из условия, что усилия, распределенные по любому поперечному сечению, образуют пару сил, которая уравновешивает внешний момент M .
Все вышесказанное также справедливо, если стержень не имеет продольную плоскость симметрии, в которой действует изгибающий момент, лишь бы только изгибающий момент действовал в осевой плоскости, которая заключает в себе одну из двух главных осей поперечного сечения. Эти плоскости называются главными плоскостями изгиба .
Когда имеется плоскость симметрии и изгибающий момент действует в этой плоскости, прогиб происходит именно в ней. Моменты внутренних усилий относительно оси z уравновешивают внешний момент M . Моменты усилий относительно оси y взаимно уничтожаются.
Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м.
Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб
Рис. 3.12
Решение задачи "прямой поперечный изгиб"
Определяем опорные реакции
Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют.
Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики:
Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y.
Из первого уравнения находим момент в заделке :
Из второго уравнения – вертикальную реакцию :
Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления.
В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов.
Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением.
Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим.
Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».
В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому
кН.
Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».
Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому
кН·м.
Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз.
Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому
кН; кН·м.
Сечение 3. Закрывая правую часть балки, найдем
кН;
Сечение 4. Закроем листком левую часть балки. Тогда
кН·м.
кН·м.
.
По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в).
Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН.
На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.
Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки
Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:
,
где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен:
.
Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: 
кН·см.
Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле
см.
Принимаем мм. Тогда
кН/см2 кН/см2.
«Перенапряжение» составляет
,
что допускается.
Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям
Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле
,
где – площадь поперечного сечения.
Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно 
кН. Тогда
кН/см2 кН/см2,
то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом.
Пример решения задачи "прямой поперечный изгиб" №2
Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб
Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м.
Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема
 |
Рис. 3.13
Решение примера задачи на прямой изгиб
Определяем опорные реакции
Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: .
Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики:
Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины.
;
кН.
Делаем проверку: .
Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс:
то есть верно.
Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов
Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а).
Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением.
Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому
кН.
Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки.
Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому
Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому
Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).
Сечение 3. Закроем правую часть. Получим
Сечение 4. Закрываем листком правую часть балки. Тогда
Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому
кН·м.
То есть все верно.
Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь
кН;
кН·м.
Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим
кН;
По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в).
Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН.
На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры.
10.1. Общие понятия и определения
Изгиб – это такой вид нагружения, при котором стержень загружен моментами в плоскостях, проходящих через продольную ось стержня.
Стержень, работающий на изгиб, называется балкой (или брусом). В дальнейшем будем рассматривать прямолинейные балки, поперечное сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.
В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.
Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).
Главными плоскоcтями инерции балки называют плоскости, проходящие через главные оси поперечных сечений и геометрическую ось балки (ось x).
Косой изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.
Сложный изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.
10.2. Определение внутренних усилий при изгибе
Рассмотрим два характерных случая изгиба: в первом – консольная балка изгибается сосредоточенным моментом Mo; во втором – сосредоточенной силой F.
Используя метод мысленных сечений и составляя уравнения равновесия для отсеченных частей балки, определим внутренние усилия в том и другом случае:
Остальные уравнения равновесия, очевидно, тождественно равны нулю.
Таким образом, в общем случае плоского изгиба в сечении балки из шести внутренних усилий возникает два – изгибающий момент Мz и поперечная сила Qy (или при изгибе относительно другой главной оси – изгибающий момент Мy и поперечная сила Qz).
При этом, в соответствии с двумя рассмотренными случаями нагружения, плоский изгиб можно подразделить на чистый и поперечный.
Чистый изгиб – плоский изгиб, при котором в сечениях стержня из шести внутренних усилий возникает только одно – изгибающий момент (см. первый случай).
Поперечный изгиб – изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутреннего изгибающего момента возникает и поперечная сила (см. второй случай).
Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.
При определении внутренних усилий будем придерживаться следующего правила знаков:
1) поперечная сила Qy считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемый элемент балки по часовой стрелке;
2) изгибающий момент Мz считается положительным, если при изгибе элемента балки верхние волокна элемента оказываются сжатыми, а нижние – растянутыми (правило зонта).
Таким образом, решение задачи по определению внутренних усилий при изгибе будем выстраивать по следующему плану: 1) на первом этапе, рассматривая условия равновесия конструкции в целом, определяем, если это необходимо, неизвестные реакции опор (отметим, что для консольной балки реакции в заделке можно и не находить, если рассматривать балку со свободного конца); 2) на втором этапе выделяем характерные участки балки, принимая за границы участков точки приложения сил, точки изменения формы или размеров балки, точки закрепления балки; 3) на третьем этапе определяем внутренние усилия в сечениях балки, рассматривая условия равновесия элементов балки на каждом из участков.
10.3. Дифференциальные зависимости при изгибе
Установим некоторые взаимосвязи между внутренними усилиями и внешними нагрузками при изгибе, а также характерные особенности эпюр Q и M, знание которых облегчит построение эпюр и позволит контролировать их правильность. Для удобства записи будем обозначать: M≡Mz, Q≡Qy.
Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dx. Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dx будет находиться в равновесии под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Q и M в общем случае меняются вдоль
оси балки, то в сечениях элемента dx будут возникать поперечные силы Q и Q+dQ, а также изгибающие моменты M и M+dM. Из условия равновесия выделенного элемента получим
Первое из двух записанных уравнений дает условие
Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым q·dx·(dx/2) как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем
Рассматривая выражения (10.1) и (10.2) совместно можем получить
Соотношения (10.1), (10.2) и (10.3) называют дифференциальными зависимостями Д. И. Журавского при изгибе.
Анализ приведенных выше дифференциальных зависимостей при изгибе позволяет установить некоторые особенности (правила) построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил: а – на участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры M – наклонными прямыми; б – на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q, эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры M – квадратичными параболами.
При этом, если эпюру М строим «на растянутом волокне», то выпуклость параболы будет направлена по направлению действия q, а экстремум будет расположен в сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию; в – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М – перегибы, острием направленные в направлении действия этой силы; г – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент на эпюре Q изменений не будет, а на эпюре М – скачки на величину этого момента; д – на участках, где Q>0, момент М возрастает, а на участках, где Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса
Рассмотрим случай чистого плоского изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая.
Отметим, что в теории упругости можно получить точную зависи-мость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов необходимо ввести некоторые допущения.
Таких гипотез при изгибе три:
а – гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) – сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;
б – гипотеза о постоянстве нормальных напряжений – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;
в – гипотеза об отсутствии боковых давлений – соседние продольные волокна не давят друг на друга.
Статическая сторона задачи
Чтобы определить напряжения в поперечных сечениях балки, рассмотрим, прежде всего, статическую сторон у задачи. Применяя метод мысленных сечений и составляя уравнения равновесия для отсеченной части балки, найдем внутренние усилия при изгибе. Как было показано ранее, единственным внутренним усилием, действующим в сечении бруса при чистом изгибе, является внутренний изгибающий момент, а значит здесь возникнут связанные с ним нормальные напряжения.
Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сечении балки найдем из рассмотрения напряжений на элементарной площадке dA, выделенной в поперечном сечении A балки в точке с координатами y и z (ось y для удобства анализа направлена вниз):
Как видим, задача является внутренне статически неопределимой, так как неизвестен характер распределения нормальных напряжений по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.
Геометрическая сторона задачи
Рассмотрим деформацию элемента балки длиной dx, выделенного из изгибаемого стержня в произвольной точке с координатой x. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернуться относительно нейтральной оси (н.о.) на угол dϕ, при этом волокно ab, отстоящее от нейтральной оси на расстояние y, превратится в дугу окружности a1b1, а его длина изменится на некоторую величину. Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется, а потому дуга a0b0 (радиус кривизны которой обозначим ρ) имеет ту же длину, что и отрезок a0b0 до деформации a0b0=dx.
Найдем относительную линейную деформацию εx волокна ab изогнутой балки.
Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения при изгибе. Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям.
10. ПРОСТЫЕ ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ
10.1. Общие понятия и определения
Изгиб – это такой вид нагружения, при котором стержень загружен моментами в плоскостях, проходящих через продольную ось стержня.
Стержень, работающий на изгиб, называется балкой (или брусом). В дальнейшем будем рассматривать прямолинейные балки, поперечное сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.
В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.
Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).
Главными плоскостями инерции балки называют плоскости, проходящие через главные оси поперечных сечений и геометрическую ось балки (ось x ).
Косой изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.
Сложный изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.
10.2. Определение внутренних усилий при изгибе
Рассмотрим два характерных случая изгиба: в первом – консольная балка изгибается сосредоточенным моментом M o ; во втором – сосредоточенной силой F .
Используя метод мысленных сечений и составляя уравнения равновесия для отсеченных частей балки, определим внутренние усилия в том и другом случае:
Остальные уравнения равновесия, очевидно, тождественно равны нулю.
Таким образом, в общем случае плоского изгиба в сечении балки из шести внутренних усилий возникает два – изгибающий момент М z и поперечная сила Q y (или при изгибе относительно другой главной оси – изгибающий момент М y и поперечная сила Q z ).
При этом, в соответствии с двумя рассмотренными случаями нагружения, плоский изгиб можно подразделить на чистый и поперечный.
Чистый изгиб – плоский изгиб, при котором в сечениях стержня из шести внутренних усилий возникает только одно – изгибающий момент (см. первый случай).
Поперечный изгиб – изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутреннего изгибающего момента возникает и поперечная сила (см. второй случай).
Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.
При определении внутренних усилий будем придерживаться следующего правила знаков:
1) поперечная сила Q y считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемый элемент балки по часовой стрелке;
2) изгибающий момент М z считается положительным, если при изгибе элемента балки верхние волокна элемента оказываются сжатыми, а нижние – растянутыми (правило зонта).
Таким образом, решение задачи по определению внутренних усилий при изгибе будем выстраивать по следующему плану: 1) на первом этапе, рассматривая условия равновесия конструкции в целом, определяем, если это необходимо, неизвестные реакции опор (отметим, что для консольной балки реакции в заделке можно и не находить, если рассматривать балку со свободного конца); 2) на втором этапе выделяем характерные участки балки, принимая за границы участков точки приложения сил, точки изменения формы или размеров балки, точки закрепления балки; 3) на третьем этапе определяем внутренние усилия в сечениях балки, рассматривая условия равновесия элементов балки на каждом из участков.
10.3. Дифференциальные зависимости при изгибе
Установим некоторые взаимосвязи между внутренними усилиями и внешними нагрузками при изгибе, а также характерные особенности эпюр Q и M , знание которых облегчит построение эпюр и позволит контролировать их правильность. Для удобства записи будем обозначать: M ≡ M z , Q ≡ Q y .
Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dx . Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dx будет находиться в равновесии под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Q и M в общем случае меняются вдоль оси балки, то в сечениях элемента dx будут возникать поперечные силы Q и Q +dQ , а также изгибающие моменты M и M +dM . Из условия равновесия выделенного элемента получим
∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;
∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.
Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым q ·dx ·(dx /2) как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем
Соотношения (10.1), (10.2) и (10.3) называют дифференциальными зависимостями Д. И. Журавского при изгибе.
Анализ приведенных выше дифференциальных зависимостей при изгибе позволяет установить некоторые особенности (правила) построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:
а – на участках, где нет распределенной нагрузки q , эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры M – наклонными прямыми;
б – на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q , эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры M – квадратичными параболами. При этом, если эпюру М строим «на растянутом волокне», то выпуклость па-
раболы будет направлена по направлению действия q , а экстремум будет расположен в сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию;
в – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М – перегибы, острием направленные в направлении действия этой силы; г – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент на эпю-
ре Q изменений не будет, а на эпюре М – скачки на величину этого момента; д – на участках, где Q >0, момент М возрастает, а на участках, где Q <0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса
Рассмотрим случай чистого плоского изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Отметим, что в теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов необходимо ввести некоторые допущения.
Таких гипотез при изгибе три:
а – гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)
– сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;
б – гипотеза о постоянстве нормальных напряже-
ний – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;
в – гипотеза об отсутствии боковых давлений – со-
седние продольные волокна не давят друг на друга.
1. Прямой чистый изгиб Поперечный изгиб - деформация стержня силами, перпендикулярными оси (поперечными) и парами, плоскости действия которых перпендикулярны нормальным сечениям. Стержень работающий на изгиб называют балкой. При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор - изгибающий момент Mz. Так как Qy=d. Mz/dx=0, то Mz=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при нагружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. σ Поскольку изгибающий момент Mz по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Оz с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики:
Анализ напряженного состояния при чистом изгибе Проанализируем деформации модели стержня на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок: Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, а следовательно Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон, то есть То есть изо всех компонентов тензора напряжений при чистом изгибе не равно нулю только напряжение σx=σ и чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями σ. При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. это-нижние волокна), а другая часть-в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (n-n), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю.
Правило знаков изгибающих моментов Правила знаков моментов в задачах теоретической механики и сопротивления материалов не совпадают. Причина этого в различии рассматриваемых процессов. В теоретической механике рассматриваемым процессом является движение или равновесие твердых тел, поэтому два момента на рисунке стремящиеся повернуть Mz стержень в разные стороны (правый момент по часовой стрелке, а левый – против) имеют в задачах теоретической механики разный знак. В задачах сопромата рассматриваются возникающие в теле напряжения и деформации. С этой точки зрения оба момента вызывают в верхних волокнах напряжения сжатия, а в нижних напряжения растяжения, поэтому моменты имеют одинаковый знак. Правила знаков изгибающих моментов относительно сечения С-С представлены на схеме:
Расчет значений напряжений при чистом изгибе Выведем формулы для расчета радиуса кривизны нейтрального слоя и нормальных напряжений в стержне. Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Oy. Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно. Отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (Mz=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня. При изгибе с постоянной кривизной нейтральный слой стержня становится дугой окружности, ограниченной углом φ. Рассмотрим вырезанный из стержня бесконечно малый элемент длиной dx. При изгибе он превратится в бесконечно малый элемент дуги, ограниченный бесконечно малым углом dφ. φ ρ dφ С учетом зависимостей между радиусом окружности, углом и длиной дуги:
Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости dφ считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным. Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у: Из подобия треугольников COO 1 и O 1 BB 1 следует, что то есть: Продольная деформация оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений. Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гука будет равно:
Полученная формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя 1/ρ и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы Подставляя в это уравнение выражение для σ: и учитывая, что, получаем, что: Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси (оси проходящей через центр тяжести сечения). Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения. Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом. Подставляя в это уравнение выражение для напряжений, получим:
Интеграл в полученном уравнении ранее изучен: Jz- момент инерции относительно оси Оz. В соответствии с выбранным положение осей координат он же главный центральный момент инерции сечения. Получаем формулу для кривизны нейтрального слоя: Кривизна нейтрального слоя 1/ρ является мерой деформации стержня при прямом чистом изгибе. Кривизна тем меньше, чем больше величина EJz, называемая жесткостью поперечного сечения при изгибе. Подставляя выражение в формулу для σ, получаем: Таким образом, нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. геометрическая характеристика, имеющая размерность м 3 называется момент сопротивления при изгибе.
Определение моментов сопротивления Wz поперечных сечений - У простейших фигур в справочнике (лекция 4) или рассчитать самостоятельно - У стандартных профилей в сортаменте ГОСТ
Расчет на прочность при чистом изгибе Проектировочный расчет Условие прочности при расчете чистого изгиба будет иметь вид: Из данного условия определяют Wz, а далее либо подбирают нужный профиль из сортамента стандартного проката, либо по геометрическим зависимостям рассчитывают размеры сечения. При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения, которые сравниваются соответственно с допускаемыми напряжениями на растяжение и сжатие. Условий прочности в этом случае будет два, отдельно по растяжению и по сжатию: Здесь - соответственно допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.
2. Прямой поперечный изгиб τxy τxz σ При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня возникает изгибающий момент Мz и поперечная сила Qy, которые связаны с нормальными и касательными напряжениями Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для расчета нормальных напряжений в случае прямого поперечного изгиба, строго говоря, неприменима, поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными напряжениями, происходит депланация (искривление) поперечных сечении, то есть нарушается гипотеза плоских сечений. Однако для балок с высотой сечения h
При выводе условия прочности при чистом изгибе использовалась гипотеза об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон. При поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой гипотезы: а) в местах приложения сосредоточенных сил. Под сосредоточенной силой напряжения поперечного взаимодействия σy могут быть достаточно велики и во много раз превышать продольные напряжения, убывая при этом, в соответствии с принципом Сен-Венана, по мере удаления от точки приложения силы; б) в местах приложения распределенных нагрузок. Так, в случае, приведенном на рис, напряжения от давления на верхние волокна балки. Сравнивая их с продольными напряжениями σz, имеющими порядок: приходим к выводу, что напряжения σy
Расчет касательных напряжений при прямом поперечном изгибе Примем, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения. Непосредственное определение напряжений τyx затруднительно, поэтому находим равные им касательные напряжения τxy, возникающие на продольной площадке с координатой у элемента длиной dx, вырезанного из балки z x Mz
От этого элемента продольным сечением, отстоящим от нейтрального слоя на у, отсекаем верхнюю часть, заменяя действие отброшенной нижней части касательными напряжениями τ. Нормальные напряжения σ и σ+dσ , действующие на торцевых площадках элемента, также заменим их равнодействующими y Mz τ Mz+d. Mz by ω y z Qy Qy +d. Qy dx Nω+d Nω d. T статический момент отсеченной части площади поперечного сечения ω относительно оси Оz. Рассмотрим условие равновесия отсеченного элемента составив для него уравнение статики Nω dx b
откуда после несложных преобразований, учитывая, что получим Формула Журавского Kасательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратичеокой параболы, достигая максимума на нейтральной оси Mz z Учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют, а наибольшие касательные напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям
3. Составные балки при изгибе Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями стержня при поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба стержня меняется. В стержне, составленном из листов, каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно. Изгибающий момент равномерно распределяется между составными листами. Максимальное значение изгибающего момента будет в середине балки и будет равно. Mz=P·l. Наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно:
Если листы плотно стянуть достаточно жесткими болтами, стержень будет изгибаться как целый. В этом случае наибольшее нормальное напряжение оказывается в n раз меньше, т. е. В поперечных сечениях болтов при изгибе стержня возникают поперечные силы. Наибольшая поперечная сила будет в сечении, совпадающем с нейтральной плоскостью изогнутого стержня.
Эту силу можно определить из равенства сумм поперечных сил в сечениях болтов и продольной равнодействующей касательных напряжений в случае целого стержня: где m - число болтов. Сопоставим изменение кривизны стержня в заделке в случае связанного и несвязанного пакетов. Для связанного пакета: Для несвязанного пакета: Пропорционально изменениям кривизны меняются и прогибы. Таким образом, по сравнению с целым стержнем набор свободно сложенных листов оказывается в n 2 раз более гибким и только в n раз менее прочным. Это различие в коэффициентах снижения жесткости и прочности при переходе к листовому пакету используют на практике при создании гибких рессорных подвесок. Силы трения между листами повышают жесткость пакета, так как частично восстанавливают касательные силы между слоями стержня, устраненные при переходе к листовому пакету. Рессоры нуждаются поэтому в смазке листов и их следует оберегать от загрязнения.
4. Рациональные формы поперечных сечений при изгибе Наиболее рациональным является сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки минимальной материалоемкости нужно стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равных допускаемым или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение балки при изгибе должно удовлетворять условию равнопрочности растянутой и сжатой зон балки. Для этого необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения и наибольшие напряжения сжатия одновременно достигали допускаемых напряжений. Приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра, у которого возможно большая часть материала сосредоточена на полках, соединенных стенкой, толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям. . К двутаврому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение
Для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие которое вытекает из требования Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов. а-двутавр, б- швеллер, в - неравнобокий уголок, холодногнутые замкнутые г-равнобокий уголок. сварные профили
